Իրական թվեր

 

Բնական կոչվում են այն թվերը, որոնք առաջանում են հաշվելիս կամ նման առարկաներ համարակալելիս:

Բնական թվերի բազմությունը նշանակում են N տառով:

 

Բնական թվերը, նրանց հակադիր թվերը և զրոն կազմում են ամբողջ թվերի բազմությունը՝ Z:

 

Ամբողջ թվերը և դրական ու բացասական կոտորակային թվերը կազմում են ռացիոնալ թվերի բազմությունը:

Ռացիոնալ թվերի բազմությունը նշանակում են Q տառով:

 

Պարզ է, որ՝ N⊂Z⊂Q:

Յուրաքանչյուր ռացիոնալ թիվ կարելի է ներկայացնել p/q տեսքով, որտեղ p-ն ամբողջ թիվ է, իսկ q-ն՝ բնական: 

Քանի որ ցանկացած m ամբողջ թիվ կարելի է գրել m/1 տեսքով, ապա այն ռացիոնալ թիվ է, այսինքն՝ Z⊂Q: 

 

Այսպիսով, կարելի է ասել, որ ռացիոնալ թվերի բազմությունը բաղկացած է բոլոր ամբողջ թվերից և դրական ու բացասական սովորական կոտորակներից:

 

Ցանկացած վերջավոր տասնորդական կոտորակ՝ որպես սովորական կոտորակի մասնավոր դեպք, հանդիսանում է ռացիոնալ թիվ:

 

Օրինակ՝ 7 ամբողջ թիվը կարելի է գրել 7,0000… անվերջ տասնորդական կոտորակի տեսքով:

4,244 վերջավոր տասնորդական կոտորակը կարելի է գրել 4,244000…

անվերջ տասնորդական կոտորակի տեսքով:

 

5/11=0,454545…: Կարճ գրում ենք այսպես՝ 0,(45):

 

Ստորակետից հետո թվանշանների կրկնվող խումբը կոչվում է պարբերություն, իսկ ինքը կոտորակը՝ անվերջ պարբերական տասնորդական կոտորակ:  

 

Ցանկացած ռացիոնալ թիվ կարելի է ներկայացնել անվերջ պարբերական տասնորդական կոտորակի տեսքով:

 

Ճիշտ է նաև հակառակ պնդումը, այսինքն՝ ցանկացած  անվերջ պարբերական տասնորդական կոտորակ ռացիոնալ թիվ է:

 

Ռացիոնալ չհանդիսացող թվերը, այսինքն, այն թվերը որոնք ամբողջ չեն և չեն ներկայացվում  m/n կոտորակի տեսքով, որտեղ m-ը ամբողջ թիվ է, իսկ n-ը՝ բնական թիվ, կոչվում են իռացիոնալ թվեր:

 

Իռացիոնալ թիվ կոչվում է անվերջ ոչ պարբերական տասնորդական կոտորակը: Օրինակ՝ 0,547…557505…113456…

 

Իռացիոնալ թվեր կարելի է հանդիպել անջատելով քառակուսի արմատ՝ √3=1,732050…

 

Ամենահայտնի իռացիոնալ թվերից մեկը π թիվն է: Այն ստանալու համար պետք է ցանկացած շրջանագծի երկարությունը բաժանել նրա տրամագծի վրա:

 

Ռացիոնալ և իռացիոնալ թվերից բաղկացած թվային բազմությունը կոչվում է իրական թվերի բազմություն:

 

Իրական թվերի բազմությունը նշանակում են R տառով:

Հիշենք, որ ցանկացած իրական թիվ անվերջ տասնորդական կոտորակ է՝

– ռացիոնալ թվերն անվերջ պարբերական կոտորակներ են, իսկ

– իռացիոնալ թվերը՝ անվերջ ոչ պարբերական կոտորակներ:

Ուստի, գործնականում, հարմար է թվաբանական գործողությունները կատարել մոտավոր հաշված (կլորացրած) կոտորակների հետ:

 

1) Երկու իրական թվերի գումարը (տարբերությունը) մոտավոր հաշվելու համար նախ այդ թվերը պետք է կլորացնել նույն ճշտությամբ, ապա գումարել (հանել) ստացված արդյունքները:  

 

2) Երկու իրական թվերի արտադրյալը (քանորդը) մոտավոր հաշվելու համար նախ այդ թվերը պետք է կլորացնել նույն ճշտությամբ, բազմապատկել (բաժանել) ստացված մոտավորությունները, ապա արդյունքը կլորացնել նույն ճշտությամբ:

0-ի 0 աստիճանը և բացասական աստիճանը չեն սահմանվում: 

Իրական թվերի n-րդ աստիճանի արմատ

Հատկությունները

 

Եռանկյունաչափության տարրեր

Անկյան ռադիանային չափը

 

Միավոր շրջանագիծ անվանում են այն շրջանագիծը, որի կենտրոնը գտնվում է կոորդինատների սկզբնակետում և, որի շառավիղը հավասար է 1-ի:

 

1) OX ճառագայթի դրական ուղղության և OA ճառագայթի կազմած անկյունը կոչվում է պտույտի անկյուն:

 

2) Պտույտի այն ուղղությունը, որը համընկնում է ժամացույցի սլաքի ուղղության հետ, կոչվում է բացասական ուղղություն, իսկ հակառակ ուղղությունը՝ դրական:

 

Կարևոր է հիշել 0,  90°,  180°,  270°,  360° անկյունների դիրքը:

1° մեծությամբ անկյունը փռված անկյան 1/180 մասն է:

 

Ռադիանը անկյան չափման այն միավորն է, երբ π ռադ=180°:

Այս հավասարությունից ստանում ենք՝ 1 ռադ =180°/π≈57°:

 

Գիտենք, որ R շառավղով շրջանագծի երկարությունը հավասար է l=2π⋅R:

• Միավոր շրջանագծի երկարությունը կլինի 2π⋅1=2π, համապատասխանում է 360° կենտրանական անկյանը:
• Կիսաշրջանագծի երկարությունը կլինի՝ 1/2⋅2π=π, համապատասխանում է 180°կենտրանական անկյանը,
• Շրջանագծի քառորդի երկարությունը կլինի՝ 1/4⋅2π=π/2, համապատասխանում է 90°կենտրանական անկյանը:

 

Նկատենք, որ շրջանագծի, նրա կեսի և քառորդի երկարությունները համապատասխան կենտրոնական անկյունների վրա հենված աղեղների երկարություններն են:

 

Իսկ ո՞ր կենտրոնական անկյանն է համապատասխանում l երկարությամբ աղեղի երկարությունը: Նշանակենք այդ անկյունը α-ով և գտնենք այն:

 

Քանի որ  360°∼2π  և  α°∼1,  ապա α°=360°/2π=180°/π:

Հիշենք, որ 1ռադ=180°/π: Հետևաբար, α-ն այն անկյունն է, որի ռադիանային չափը l ռադիան է:

 

Այսպիսով, մեկ ռադիան մեծությամբ անկյունն այն կենտրոնական անկյունն է, որի հենման աղեղի երկարությունը հավասար է շրջանագծի շառավղին:

 

Միավոր շրջանագծի կետերի կոորդինատները

 

Դիտարկենք միավոր շրջանագիծը՝ (0;0) կենտրոնով և 1 շառավղով:

 

Շրջանագծի ցանկացած կետ ունի իր կոորդինատները:

 

Օրինակ՝ A կետի կոորդինատներն են (1;0):

 

 

Գտնենք շրջանագծի այլ կարևոր կետերի կոորդինատները:

 

Դիտարկենք նկարի M կետը:  OA հատվածին M

կետից իջեցնենք MP ուղղահայացը և դիտարկենք

OMP ուղղանկյուն եռանկյունը:Նկատենք, որ ∡MOP=45° կամ π/4 ռադ:

 

Այսպիսով, OMP-ը հավասարասրուն ուղղանկյուն եռանկյուն է՝ OP=MP: Այսինքն, M կետի կոորդինատները հավասար են՝ x=y:

 

Քանի որ M(x;y) կետը գտնվում է շրջանագծի վրա, հետևաբար, նրա կոորդինատները պետք է բավարարեն շրջանագծի հավասարմանը՝  x2+y2=1

Ուրեմն, կետի կոորդինատները գտնելու համար պետք է լուծել համակարգը՝

Առաջին հավասարման մեջ y-ի փոխարեն տեղադրենք x և լուծենք այն՝

Հաշվի առանք, որ Mկետի կոորդինատները դրական են:

Այսպիսով π/4 ռադ անկյանը համապատասխանող M կետի կոորդինատներն են՝ M(π/4)=M(√2/2;√2/2):

 

Նկատենք, որ եթե M(π/4) կետից միավոր շրջանագծի վրայով կատարենք լրիվ պտույտ՝ դրական կամ բացասական ուղղություններով (ժամացույցի սլաքի կամ նրան հակառակ ուղղությամբ), ապա կհայտնվենք նույն կետում:

 

Սա նշանակում է, որ π/4+2πk,k∈Z ռադ բոլոր անկյուններին ևս համապատասխանում է գտնված M(√2/2;√2/2) կետը:

 

Նույն ձևով կարելի է հաշվել այլ կետերի կոորդինատներ, հաշվի առնելով դրանց կոորդինատների նշանները՝ կախված գտնվելու քառորդից:

 

Արդյունքները ներկայացնենք հետևյալ աղյուսակի տեսքով:

Նման ձևով գտնենք π/6 ռադիան անկյանը համապատասխանող M կետի կոորդինատները:

MOP-ն ուղղանկյուն եռանկյուն է: ∡MOP=30° կամ π/6 ռադ:

 

MPէջը գտնվում է 30° անկյան դիմաց և հավասար է ներքնաձիգի կեսին՝

MP=1/2 , y=1/2 :*

M կետի x աբսցիսը գտնում ենք լուծելով հետևյալ հավասարումը՝

Հաշվի առանք, որ M կետի կոորդինատները դրական են: Այսպիսով, π/6 ռադիան անկյանը համապատասխանող M կետի կոորդինատներն են՝

M(π/6)=M(√3/2;1/2):

 

Արդեն նշել ենք, որ π/6+2πk,k∈Z տեսքի բոլոր անկյուններին ևս համապատասխանում է գտնված M(√3/2;1/2) կետը:

 

Նույն ձևով կարելի է հաշվել այլ կետերի կոորդինատներ, հաշվի առնելով դրանց կոորդինատների նշանները՝ գտնվելու քառորդից կախված:

Արդյունքները ներկայացնենք հետևյալ աղյուսակի տեսքով:

 

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ

 

Միավոր շրջանագծի վրա վերցնենք B(x;y) կետը և դիտարկենք OBD ուղղանկյուն եռանկյունը:

 

Գիտենք, որ

• sinα=BD/OB=y/1
• cosα=OD/OB=x/1
• tgα=BD/OD=y/x
• ctgα=OD/BD=x/y

 

Այսպիսով՝

B(cosα;sinα)

 

1. sinα կոչվում է B կետի y կոորդինատը՝  օրդինատը:
2. cosα կոչվում է B կետի x կոորդինատը՝ աբսցիսը:
3. tgα կոչվում է B կետի օրդինատի հարաբերությունը աբսցիսին:
4. ctgα կոչվում է B կետի աբսցիսի հարաբերությունը օրդինատին:

 

Սինուսը, կոսինուսը, տանգենսը և կոտանգենսը կոչվում են եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ:

 

Միավոր շրջանագծի կամայական B(x;y) կետի կոորդինատների համար տեղի ունեն հետևյալ անհավասարությունները՝ −1≤x≤1 ;  −1≤y≤1:

 

Հետևաբար, ցանկացած α անկյան սինուսը և կոսինուսը բավարարում են −1≤cosα≤1 ;  −1≤sinα≤1 անհավասարություններին:

 

Քանի որ միավոր շրջանագծի վրայով դրական կամ բացասական ուղղություններով լրիվ պտույտներ կատարելիս կետի դիրքը չի փոխվում, ապա՝

• sin(α±2π)=sinα
• cos(α±2π)=cosα
• tg(α±2π)=tgα
• ctg(α±2π)=ctgα

 

Սինուսի նշանները                       Կոսինուսի նշանները

Օգտվելով tgα=sinα/cosα և ctgα=cosα/sinα բանաձևերի օգնությամբ գտնում ենք տանգենսի և կոտանգենսի արժեքների նշանները՝

1) Առաջին քառորդում սինուսը, կոսինուսը, տսնգենսը և կոտանգենսը դրական են:

 

2) Երկրորդ քառորդում սինուսը դրական է, իսկ կոսինուսը, տանգենսը և կոտանգենսը բացասական են:

 

3) Երրորդ քառորդում սինուսը և կոսինուսը բացասական են, իսկ տանգենսն ու կոտանգենսը՝ դրական:

 

4) Չորրորդ քառորդում կոսինուսը դրական է, իսկ սինուսը, տանգենսը և կոտանգենսը՝ բացասական:

 

Ցանկացած α անկյան համար տեղի ունեն հետևյալ բանաձևերը՝

cos(−α)=cosα

sin(−α)=−sinα

tg(−α)=−tgα

ctg(−α)=−ctgα

 

Եռանկյունաչափական հիմնական նույնությունները

 

Միավոր շրջանագծի վրա վերցնենք A(x;y) կետը:

 

Համաձայն եռանկյունաչափական ֆունկցիաների սահմանման՝

sinα=y

cosα=x

tgα=yx

ctgα=xy

 

Այսպիսով՝ A(cosα;sinα): Այստեղից հետևում է, որ՝

tgα=sincos

ctgα=cossin

tgα⋅ctgα=1

 

Այս հավասարությունները ճիշտ բոլոր այն անկյունների համար, որոնց դեպքերում, եռանկյունաչափական ֆունկցիաներն իմաստ ունեն և հայտարարները զրո չեն դառնում:

Հաշվի առնելով, որ A(x;y) կետը գտնվում է միավոր շրջանագծի վրա, այսինքն x2+y2=1, կամայական α-ի համար ստանում ենք՝

 

sin2+cos2=1:

 

Այս հավասարությունը կոչվում է եռանկյունաչափական հիմնական նույնություն:

 

 

 

Բերման բանաձևերը

 

Եթե եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արգումենտում հանդես է գալիս

արտահայտություններից որևէ մեկը, կամ ավելի ընդհանուր՝ n2t տեսքի որևէ անկյուն, որտեղ n∈Z, ապա հաջողվում է եռանկյունաչափական ֆունկցիայի արժեքը բերել ավելի պարզ տեսքի, երբ ֆունկցիայի արգումենտում մասնակցում է միայն t արգումենտը:

 

Համապատասխան բանաձևերը կոչվում են բերման բանաձևեր:

Բերման բանաձևերը շատ են և հաճախ դրանցից օգտվելը հարմար չէ: Դրանք հիշելը դժվար է: Սակայն ամբողջ աղյուսակն անգիր անել պարտադիր չէ՝ բավական է հիշել միայն մեկ կանոն և դուք ինքներդ կարող եք դուրս բերել պահանջվող բերման բանաձևը:

Նկատենք, որ եռանկյունաչափական ֆունկցիան չի փոխվում, եթե միավոր շրջանագծի վրա t անկյանը համապատասխանող կետը գտնվում է աբսցիսների առանցքի վրա և փոխվում է, եթե կետը գտնվում է օրդինատների առանցքի վրա:

 

Մասնավորապես՝ tg(α±π)=tgα,  ctg(α±π)=ctgα:

 

Այս կանոնը կարելի է ձևակերպել և կիրառել նաև աստիճանային չափով տրված անկյունների համար, օրինակ՝ 90°+t, 90°−t, 180°+t, 180°−t  տեսքի:

Գումարի և տարբերության սինուսի և կոսինուսի, տանգենսի և կոտանգենսի բանաձևերը

 

Հաճախ ամենաբարդ եռանկյունաչափական արտահայտությունները, որոշ ձևափոխություններից հետո, հաջողվում է բերել արգումենտի աղյուսակային արժեքների, օրինակ՝ 30°,45°,60° անկյունների, որոնց դեպքում եռանկյունաչափական արտահայտությունը հեշտությամբ հաշվվում են

Ձևափոխությունների հիմնական նպատակն է եռանկյունաչափական արտահայտությունները բերել այնպիսի տեսքի, որ դրանց արժեքների հաշվելը լինի  ավելի հեշտ:

 

Այդ նպատակին հասնելու հիմնական միջոցը եռանկյունաչափական արտահայտությունների ձևափոխությունների բանաձևերն են: Դրանցից ամենակարևորը անկյունների գումարի սինուսի և կոսինուսի բանաձևերն են:

 

1) Երկու անկյունների գումարի կոսինուսը հավասար է այդ անկյունների կոսինուսների արտադրյալի և սինուսների արտադրյալի տարբերությանը՝

cos(x+y)=cosx⋅cosy−sinx⋅siny:

 

2) Երկու անկյունների գումարի սինուսը հավասար է առաջին անկյան սինուսի և երկրորդ անկյան կոսինուսի արտադրյալին գումարած առաջին անկյան կոսինուսի և երկրորդ անկյան սինուսի արտադրյալը՝

sin(x+y)=sinx⋅cosy+cosx⋅siny:

 

3) Երկու անկյունների տարբերության սինուսը հավասար է առաջին անկյան սինուսի և երկրորդ անկյան կոսինուսի արտադրյալից հանած առաջին անկյան կոսինուսի և երկրորդ անկյան սինուսի արտադրյալը՝

sin(x−y)=sinx⋅cosy−cosx⋅siny:

 

4) Երկու անկյունների տարբերության կոսինուսը հավասար է այդ անկյունների կոսինուսների արտադրյալի և սինուսների արտադրյալի գումարին՝

cos(x−y)=cosx⋅cosy+sinx⋅siny:

 

Հիմա sin(x−y) արտահայտությունը ներկայացնենք sin(x+(−y)) տեսքով և կիրառենք գումարի սինուսի բանաձևը՝ sin(x+(−y))=sinx⋅cos(−y)+cosx⋅sin(−y):

 

Հիշենք, որ cos(−y)=cosy և sin(−y)=−siny:

 

Ստանում ենք՝ sin(x+(−y))=sinx⋅cos(−y)+cosx⋅sin(−y)=sinx⋅cosy−cosx⋅siny: Նմանապես ստանումենք նաև երկու անկյունների տարբերության կոսինուսը:

 

Եռանկյունաչափական արտահայտությունների ձևափոխության ժամանակ ամենահաճախ օգտագործվող բանաձևերից են անկյունների գումարի և տարբերության տանգենսի և կոտանգենսի բանաձևերը:

Թույլատրելի արժեքներն արգումենտի բոլոր այն արժեքներն են, որոնց դեպքում բանաձևերում մասնակցող բոլոր տանգենսներն իմաստ ունեն՝

 

Գումարի և տարբերության տանգենսի բանաձևերի միջոցով ստանանք համապատասխան բանաձևերը կոտանգենսի համար՝

 

Կրկնակի անկյան սինուսն ու կոսինուսը, տանգենսն ու կոտանգենսը

 

Կրկնակի անկյան բանաձևերը թույլ են տալիս կրկնակի անկյան եռանկյունաչափական ֆունկցիաներն արտահայտել սովորական (մեկական) արգումենտով եռանկյունաչափական ֆունկցիաների միջոցով:

Այդ բանաձևերը կապում են sin2x, cos2x, tg2x և sinx, cosx, tgx ֆունկցիաները:

 

sin2x=2sinx⋅cosx

cos2x=cos2x-sin2x

 

Այստեղից և sin2x+cos2x=1 նույնությունից ստանում ենք հետևյալ բանաձևերը՝

cos2x=1-2sin2x

cos2x=2cos2x-1

Աստիճանի իջեցման բանաձևերը

 

cos2x=2cos2x-1 բանաձևից ստանում ենք աստիճանի իջեցման կոսինուսի բանաձևը՝

cos2x=1+cos2x2

 

cos2x=1-2sin2xբանաձևից ստանում ենք աստիճանի իջեցման սինուսի բանաձևը՝

sin2x=1-cos2x2

 

Ստացված բանաձևերը կոչվում են աստիճանի իջեցման բանաձևեր:

 

Աստիճանի իջեցման բանաձևերի կիրառման ընթացքում արգումենտը կրկնապատկվում է:

 

Աստիճանի իջեցման բանաձևերի միջոցով հնարավոր է դառնում հաշվել x անկյան սինուսն ու կոսինուսը, եթե տրված է cos2x-ը: Հետևաբար կարող ենք հաշվել նաև տանգենսը՝

Կոտանգենսի համար աստիճանի իջեցման բանաձևը ստանալու համար պետք է շրջել տանգենսի բանաձևի կոտորակները:

 

Կես անկյան բանաձևերը

 

Այս բանաձևում աջ մասի նշանը պետք է ընտրել այնպես, որ աջ և ձախ մասերի նշանները համընկնեն:

 

Ապացուցված բանաձևերը, երբ x/2 անկյան եռանկյունաչափական ֆունկցիայի արժեքը արտահայտվում է x անկյան ֆունկցիաների արժեքներով, կոչվում են կես անկյան բանաձևեր:

 

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արտադրյալի բանաձևերը

 

Գիտենք, որ

 

cos(α+β)=cosα⋅cosβ−sinα⋅sinβ

cos(α−β)=cosα⋅cosβ+sinα⋅sinβ

 

Երկրորդ հավասարությունից հանենք առաջինը և ստացված հավասարության երկու մասերը բաժանենք 2-ի: Ստանում ենք՝

sinα⋅sinβ=1/2(cos(α−β)−cos(α+β)):

 

Եթե վերևի նույնությունները գումարենք, և ստացված հավասարության երկու մասերը բաժանենք 2-ի, ապա կստանանք՝

cosα⋅cosβ=1/2(cos(α+β)+cos(α−β)):

 

Նույն ձևով՝

 

sin(α+β)=sinα⋅cosβ−cosα⋅sinβ

sin(α−β)=sinα⋅cosβ−cosα⋅sinβ

 

Նույնությունների միջոցով, ստանում ենք՝

sinα⋅cosβ=1/2(sin(α+β)+sin(α−β)):

 

Ստացված բանաձևերը հնարավորություն են տալիս եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արտադրյալը ձևափոխել գումարի:

 

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների գումարի բանաձևերը

 

Գիտենք, որ cosα⋅cosβ=1/2(cos(α+β)+cos(α−β))

 

Այս նույնության մեջ տեղադրենք α=(x+y)2, β=(x−y)/2 ստանում ենք՝

cosx+cosy=2cosx+y2cosx-y2:

 

Նույն ձևով `

sinα⋅sinβ=1/2(cos(α−β)−cos(α+β))

sinα⋅cosβ=1/2(sin(α−β)+sin(α+β)) բանաձևերից համապատասխանաբար ստանում ենք՝

Վերջին բանաձևում y-ի փոխարեն −y տեղադրելով, ստանում ենք՝

Ստացված բանաձևերը կոչվում են եռանկյունաչափական ֆունկցիաների գումարի բանաձևեր:

 

Դիտարկենք հետևյալ օրինակը՝

Եռանկյունաչափական արտահայտությունների նույնական ձևափոխություններ

 

Նույնական են կոչվում այն ձևափոխությունները, որոնք չեն փոփոխում արտահայտության թույլատրելի արժեքների բազմությունը (ԹԱԲ-ը), և ԹԱԲ-ի բոլոր արժեքների համար բերում են արտահայտության, որը հավասար է սկզբնական արտահայտությանը:

 

Եթե cosx+cosy արտահայտությունը փոխարինել 2cos(x+y)/2cos(x−y)/2 արտահայտությամբ, ապա cosx+cosy արտահայտության հետ կատարած կլինի նույնական ձևափոխություն:

 

Ընդհանրապես, բոլոր այն բանաձևերը, որոնցում մասնակցում են միայն սինուսներ և կոսինուսներ, և չկան արմատանշաններ և կոտորակներ, կարելի է դիտարկել որպես ձախ մասի նույնական ձևափոխություն աջ մասին:

 

Վիճակն այլ է, երբ բանաձևում մասնակցում է տանգենսը կամ կոտանգենսը:

Այս բանաձևը նույնություն չէ, քանի որ ձախ ու աջ մասերի թույլատրելի արժեքների բազմություններն իրարից տարբեր են: Եթե α=β=π/2, ապա ձախ մասը որոշված է և հավասար է զրոյի, իսկ աջ մասը որոշված չէ:

 

Կատարելով նույնական ձևափոխություններ նույնություն հանդիսացող մեզ հայտնի բանաձևերի հետ, կարելի է ստանալ նոր բանաձևեր: